Compétences :
- Définir et expliquer les termes codification, codage et transcodage
- Effectuer les conversions dans les bases usuelles
- Effectuer des opérations d’addition et de soustraction dans les bases
Un système de numération décrit la façon dont les nombres sont représentés. Un système de numération est décrit par : un alphabet (ensemble de symboles ou de chiffres), des règles d’écritures des nombres et de juxtapositions de symboles. Les bases usuelles sont :
- Puis on divise le quotient par la base B et on écrit le reste de côté
- On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un quotient nul.
- La suite des restes correspond aux symboles de la base visée
- On obtient en premier le chiffre de poids faible et en dernier le chiffre de poids fort (on inverse)
Ainsi, le nombre 19 en base 10 donne 10011 en base 2
74(10) = 4A (16)
NB : 10 est remplacé par son équivalent en hexadécimal (A)
- On place les charges de chaque symbole du nombre à convertir de la droite vers la gauche
NB : La charge correspond à la puissance de la base B. La puissance la plus à droite est toujours 0.
Pour trouver la charge suivante, on ajoute 1 à la charge précédente.
- On multiplie chaque symbole par sa charge
- On somme les différents résultats obtenus à l’étape précédente
- Le nombre obtenu correspond au résultat recherché
Exemple 1 : soit à convertir le nombre 11010(2) en Base 10, voici comment sera représenté le nombre avec les charges
Ainsi on aura 1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26(10)
Exemple 2 : soit à convertir le nombre 231(8) en base 10, voici comment sera représenté le nombre avec les charges
Ainsi on aura 2x82 + 3x81 + 1x80 = 2x64 + 3x8 + 1x1 = 128 + 24 + 1 = 153(10)
- On divise les bits en bloc de 3 de la droite vers la gauche. Si le bloc le plus à gauche est insuffisant, on le complète par des zéros
- On convertit ensuite chaque bloc de 3 bits en base 10 et on obtient le résultat attendu
Exemple : soit à convertir le nombre 10101011 base 8, en respectant les étapes précédentes, on obtiendra le résultat suivant :
Donc le nombre 10101011(2) = 253(8)
Donc le nombre 10101011(2) = AB (16)
- On additionne d’abord les bits de poids faibles (les plus à droite)
- Si le résultat dépasse l’unité la plus grande (1), on reporte la retenue sur le bit de poids le plus fort suivant
- On effectue l’addition sur les bits suivants jusqu’à obtenir le résultat.
Exemple : soit à calculer 101 + 11 on aura le résultat suivant :
On a au premier calcul 1 + 1 = 10 (représentation de 2 en Binaire) on écrit 0 et on retient 1. Puis on fait 1 + 0 + 1 = 10. On écrit 0 et on retient 1. On fait par la suite 1 + 1 et on obtient le même résultat puis on fait 1 + 0 qui nous donne 1. Donc 101 + 11= 1000 en base 2
- Commencer à additionner les symboles de poids faibles c'est-à-dire A0 + B0 on obtient un nombre N
- Lorsque N < Bs on reporte N sur la barre des résultats et on continue l’addition
- Lorsque N > Bs on cherche un X tels que X = N-Bs.
On reporte X sur la barre de résultat et on ajoute 1 comme retenu aux symboles de poids suivant.
- Répéter les étapes précédentes jusqu’aux symboles de poids fort en prenant en compte les retenues s’il y en a.
Exemple : soit à effectuer le calcul suivant 71(8) + 34(8)
1 + 4 = 5 <8, on écrit 5 sous la barre de résultat
7+3 = 10 >8, or 10 = 8 + 2, on écrit 2 sous la barre de résultat et on retient 1.
1 + 0 =1<8, on écrit 1 sous la barre de résultat. Et on obtient
125 comme résultat final
Exemple :
- Commencer à additionner les symboles de poids faibles c'est-à-dire A0 - B0 on obtient un nombre N
- Lorsque A0 > B0, N > 0 on écris N sur la barre de résultats puis on continue l’opération
- Lorsque A0 < B0, N < 0 on emprunte une 8e (pour la base 8) ou une 16e (pour la base 16) qu’on additionne à A0. On aura alors A0 + Bs – B0 et on écrit le résultat sur la barre et on met 1 comme retenue à la seconde opérande du symbole de poids suivant.
- Répéter l’étape précédente jusqu’aux symboles de poids forts en prenant en compte les unités empruntées s’il y a lieu
NB : En base 16, lorsque A0 + 16 - B0 est compris entre 10 et 15, on le remplace par son symbole hexadécimal correspondant.
- Définir et expliquer les termes codification, codage et transcodage
- Effectuer les conversions dans les bases usuelles
- Effectuer des opérations d’addition et de soustraction dans les bases
Introduction
Une information est le support formel d’un élément de connaissance humaine susceptible d’être représentée à l’aide de conventions (codages) afin d’être conservée, traitée ou communiquée. Une bonne information doit être précise, fiable, pertinente, vérifiable. Une donnée est la représentation d’une information sous une forme codée destinée à faciliter son traitement. Le codage consiste à établir une correspondance entre la représentation d’une même information dans deux langages différents. Un code est ensemble de signes ou signaux, de règles et de lois permettant la communication dans un langage ou dans un jargon donné. La codification est le fait d’utiliser un code pour communiquer. L’ordinateur et les informaticiens utilisent plusieurs codes permettant d’interpréter une suite de nombres binaires : binaire, le décimal, l’hexadécimal, l’octal, le BCD, le Gray, L’ASCII, ….I- LES BASES USUELLES
Un système de numération décrit la façon dont les nombres sont représentés. Un système de numération est décrit par : un alphabet (ensemble de symboles ou de chiffres), des règles d’écritures des nombres et de juxtapositions de symboles. Les bases usuelles sont :
1- La base binaire (base 2)
Le binaire est un mode de représentation des chiffres utilisés dans les composants électroniques. En effet l’électricité peut être présente ou absente dans un composant électronique donné : alors on représente par 1 la présence de l’électricité dans le composant et par 0 son absence ; cette représentation correspond parfaitement au binaire qui ne connait que deux chiffres 0 et 1.2- La base octale (base 8)
Encore appelée base 8, elle est la base utilisée par les informaticiens pour faciliter certains calculs qui devaient être faits en base 2. Elle utilise 8 chiffres (0,1,2,3,4,5,6 et 7)3- La base décimale (base 10)
La base décimale est la base que nous utilisons couramment. Elle est constituée des chiffres de 0 à 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9)4- La base hexadécimale (base 16)
Les informaticiens utilisent de moins en moins la base octale au profit de la base hexadécimale. Le système hexadécimal utilise 10 chiffres et 6 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) avec A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.II- CONVERSIONS DANS LES BASES
Le transcodage (ou conversion de base) est l’opération qui permet de passer de la représentation d’un nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre exprimé dans une autre base.1- Coversion de la base 10 vers les bases 2, 8 et 16
Pour convertir un nombre de la base 10 vers une base B (2,8,16) on utilise la règle générale suivante : - On divise le nombre par la base B et on écrit le reste de côté (en négligeant la partie décimale)- Puis on divise le quotient par la base B et on écrit le reste de côté
- On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un quotient nul.
- La suite des restes correspond aux symboles de la base visée
- On obtient en premier le chiffre de poids faible et en dernier le chiffre de poids fort (on inverse)
a) Exemple de conversion de la base 10 vers la base 2
Soit à convertir le nombre 19 en binaire (base 2). En respectant les étapes précédentes on aura le résultat suivant :
b) Exemple de conversion de la base 10 vers la base 16
Soit à convertir le nombre 74 en base 16 on obtiendra le résultat suivant :
NB : 10 est remplacé par son équivalent en hexadécimal (A)
2- Conversions des base 2, 8 et 16 vers la base 10
Pour convertir un nombre d’une base B vers la base 10- On place les charges de chaque symbole du nombre à convertir de la droite vers la gauche
NB : La charge correspond à la puissance de la base B. La puissance la plus à droite est toujours 0.
Pour trouver la charge suivante, on ajoute 1 à la charge précédente.
- On multiplie chaque symbole par sa charge
- On somme les différents résultats obtenus à l’étape précédente
- Le nombre obtenu correspond au résultat recherché
Exemple 1 : soit à convertir le nombre 11010(2) en Base 10, voici comment sera représenté le nombre avec les charges
Exemple 2 : soit à convertir le nombre 231(8) en base 10, voici comment sera représenté le nombre avec les charges
3- Conversion de la base 2 vers les bases 8 et 16
a) Conversion de la base 2 vers la base 8
Pour convertir un nombre de la base deux vers la base 8, on effectue les opérations suivantes :- On divise les bits en bloc de 3 de la droite vers la gauche. Si le bloc le plus à gauche est insuffisant, on le complète par des zéros
- On convertit ensuite chaque bloc de 3 bits en base 10 et on obtient le résultat attendu
Exemple : soit à convertir le nombre 10101011 base 8, en respectant les étapes précédentes, on obtiendra le résultat suivant :
Donc le nombre 10101011(2) = 253(8)
b) Conversion de la base 2 vers la base 16
Les étapes à suivre sont les mêmes que pour la base 8 à la seule différence qu’on divise en bloc de 4 bits. Exemple : soit à convertir le nombre 10101011 en base 16 on aura le résultat suivant :
Donc le nombre 10101011(2) = AB (16)
III- OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES DANS LES BASES
Les opérations arithmétiques dans les bases 2, 8 et 16 s’effectuent avec les mêmes règles et principes qu’en décimale (base 10).1- Opération d’addition
a) En binaire
Pour additionner deux nombres binaires, on procède de la manière suivante :- On additionne d’abord les bits de poids faibles (les plus à droite)
- Si le résultat dépasse l’unité la plus grande (1), on reporte la retenue sur le bit de poids le plus fort suivant
- On effectue l’addition sur les bits suivants jusqu’à obtenir le résultat.
Exemple : soit à calculer 101 + 11 on aura le résultat suivant :
On a au premier calcul 1 + 1 = 10 (représentation de 2 en Binaire) on écrit 0 et on retient 1. Puis on fait 1 + 0 + 1 = 10. On écrit 0 et on retient 1. On fait par la suite 1 + 1 et on obtient le même résultat puis on fait 1 + 0 qui nous donne 1. Donc 101 + 11= 1000 en base 2
b) En octal et en hexadécimal
Pour additionner deux nombres A et B dans une base Bs (8 ou 16) tels que A = An…A1 A0 et B = Bn…B1 B0 on procède de la manière suivante :- Commencer à additionner les symboles de poids faibles c'est-à-dire A0 + B0 on obtient un nombre N
- Lorsque N < Bs on reporte N sur la barre des résultats et on continue l’addition
- Lorsque N > Bs on cherche un X tels que X = N-Bs.
On reporte X sur la barre de résultat et on ajoute 1 comme retenu aux symboles de poids suivant.
- Répéter les étapes précédentes jusqu’aux symboles de poids fort en prenant en compte les retenues s’il y en a.
Exemple : soit à effectuer le calcul suivant 71(8) + 34(8)
1 + 4 = 5 <8, on écrit 5 sous la barre de résultat
7+3 = 10 >8, or 10 = 8 + 2, on écrit 2 sous la barre de résultat et on retient 1.
1 + 0 =1<8, on écrit 1 sous la barre de résultat. Et on obtient
125 comme résultat final
2- Opérations de soustraction
a) En binaire
La soustraction binaire est identique à sa sœur décimale, tant au niveau des propriétés que de la méthode de calcul. 1 – 1 = 0 ; 0 – 0 = 0 ; 1 – 0 = 1 ; 0 – 1 = 1 et on retient 1 (car on a emprunté) puis on ajoute 1 de retenue au bit de poids fort suivantExemple :
b) En octal et hexadécimal
Pour effectuer une opération A-B dans une base Bs (8 ou 16) tels que A = An…A1 A0 et B = Bn…B1 B0 on procède de la manière suivante :- Commencer à additionner les symboles de poids faibles c'est-à-dire A0 - B0 on obtient un nombre N
- Lorsque A0 > B0, N > 0 on écris N sur la barre de résultats puis on continue l’opération
- Lorsque A0 < B0, N < 0 on emprunte une 8e (pour la base 8) ou une 16e (pour la base 16) qu’on additionne à A0. On aura alors A0 + Bs – B0 et on écrit le résultat sur la barre et on met 1 comme retenue à la seconde opérande du symbole de poids suivant.
- Répéter l’étape précédente jusqu’aux symboles de poids forts en prenant en compte les unités empruntées s’il y a lieu
NB : En base 16, lorsque A0 + 16 - B0 est compris entre 10 et 15, on le remplace par son symbole hexadécimal correspondant.
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