UE14: Conversions dans les bases

Compétences : à la fin de cette leçon chaque élève doit être capable de :

• Définir transcodage
• Convertir un nombre de la base 10 vers les bases 2, 8 et 16 et inversement
• Convertir un nombre de la base 2 vers les bases 8 et 16 et inversement

Introduction

Le transcodage (ou conversion de base) est l’opération qui permet de passer de la
représentation d’un nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre dans
une autre base. Le but de cette leçon est de convertir un nombre de la base 10 vers les autres bases et
inversement, puis de la base 2 vers les bases 8 et 16 et inversement. 

I- CONVERSION DE LA BASE 10 VERS LES BASES 2,8, 16 ET INVERSEMENT

 1- Conversion de la base 10 vers les bases 2, 8 et 16

Pour convertir un nombre de la base 10 vers une base B (2,8,16) on utilise la règle générale suivante :

• On divise le nombre par la base B et on écrit le reste de côté (en négligeant la partie décimale) Puis on divise le quotient par la base B et on écrit le reste de côté 
• On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un quotient nul. 
• La suite des restes correspond aux symboles de la base visée 
• On obtient en premier le chiffre de poids faible et en dernier le chiffre de poids fort (on
  inverse)
  

a) Exemple de conversion de la base 10 vers la base 2

Soit à convertir le nombre 19 en binaire (base 2). En respectant les étapes précédentes on aura le
résultat suivant :
 
Ainsi, le nombre 19 en base 10 donne 10011 en base 2

b) Exemple de conversion de la base 10 vers la base 16

Soit à convertir le nombre 74 en base 16 on obtiendra le résultat suivant :
  
74(10) = 4A (16) 
NB : 10 est remplacé par son équivalent en hexadécimal (A)

2- Conversions des base 2, 8 et 16 vers la base 10

Pour convertir un nombre d’une base B vers la base 10 

• On place les charges de chaque symbole du nombre à convertir de la droite vers la gauche. NB : La charge correspond à la puissance de la base B. La puissance la plus à droite est toujours 0.
  Pour trouver la charge suivante, on ajoute 1 à la charge précédente. 
• On multiplie chaque symbole par sa charge 
• On somme les différents résultats obtenus à l’étape précédente
  Le nombre obtenu correspond au résultat recherché
  

Exemple 1 : soit à convertir le nombre 11010(2) en Base 10, voici comment sera représenté le nombre
avec les charges
 

Exemple 2 : soit à convertir le nombre 231(8) en base 10, voici comment sera représenté le nombre
avec les charges

II- CONVERSIONS DE LA BASE 2 VERS LES BASES 8 ET 16 ET INVERSEMENT 

1- Conversion de la base 2 vers les bases 8 et 16

a) Conversion de la base 2 vers la base 8

Pour convertir un nombre de la base deux vers la base 8, on effectue les opérations suivantes :

• On divise les bits en bloc de 3 de la droite vers la gauche. Si le bloc le plus à gauche est insuffisant, on le complète par des zéros 
• On convertit ensuite chaque bloc de 3 bits en base 10 et on obtient le résultat attendu
  

Exemple : soit à convertir le nombre 10101011 base 8, en respectant les étapes précédentes, on
obtiendra le résultat suivant :
 
Donc le nombre 10101011(2) = 253(8)
 

b) Conversion de la base 2 vers la base 16

Les étapes à suivre sont les mêmes que pour la base 8 à la seule différence qu’on divise en bloc de 4
bits. Exemple : soit à convertir le nombre 10101011 en base 16 on aura le résultat suivant :
  
Donc le nombre 10101011(2) = AB (16)

2- Des bases 8 et 16 vers la base 2

Le principe est le même que précédemment. Il suffit donc de séparer chaque symbole et le convertir
en base 2 sur 3 bits si on est en base 8 et sur 4 bits si c’est la base 16.

NB : il faut bien faire attention sur le nombre de bits de la gauche vers la droite. Si le caractère de
droite est 1(en base 8) sa représentation en base 2 sur 3 bits sera 001. Si 1 est en base 16, sa
représentation en binaire sur 4 bits sera 0001.
 

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UE13: Introductions aux systèmes de numération

Compétences : à la fin de cette leçon, l’élève sera capable de :

• Définir numération, système de numération
• Présenter les différents systèmes de numération

Introduction

Depuis l’aube des temps, l’homme a appris à compter et utilise un système de numération à 10
caractères (0 à 9) pour effectuer des calculs. Avec l’arrivée des appareils électroniques, plusieurs
autres systèmes de numération ont vu le jour dans le but de mieux assurer la communication entre les
composants électroniques. Dans cette leçon, nous verrons les différents systèmes de numération
utilisés en informatique et les différents caractères de chaque système.

I- DEFINITIONS

La numération : désigne les techniques de représentation de nombres. La numération ainsi définie,
permet la représentation d’un nombre par la juxtaposition ordonnée des symboles pris dans un
ensemble appelé base. 
Système de numération : ensemble des règles d’utilisation des signes, de mots ou gestes permettant
d’écrire, d’énoncer les nombres ou de coder l’information dans une base donnée 
La base d’un système de numération : est égale au nombre de symboles nécessaires pour
représenter n’importe quel nombre dans ce système. En arithmétique, une base désigne la valeur dont
les puissances successives interviennent dans l’écriture des nombres. Ces puissances définissent
l’ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les symboles composant tout nombre.
L’alphabet d’un système de numération est l’ensemble de symboles utilisé pour écrire des
nombres dans ce système.

II- LES SYSTEMES DE NUMÉRATION UTILISES EN INFORMATIQUE

Les systèmes de numération ou bases utilisés en informatique sont :

• Le système binaire ;
• Le système octal ;
• Le système décimal ;
• Le système hexadécimal

 1- Le système binaire (ou base 2)

Le binaire est un mode de représentation des chiffres utilisés dans les composants électroniques. En
effet l’électricité peut être présente ou absente dans un composant électronique donné : alors on représente par 1 la présence de l’électricité dans le composant et par 0 son absence ; cette
représentation correspond parfaitement au binaire qui ne connait que deux chiffres 0 et 1.

2- Le système octal (ou base 8)

Encore appelée base 8, elle est la base utilisée par les informaticiens pour faciliter certains calculs qui
devaient être faits en base 2. Elle utilise 8 chiffres (0,1,2,3,4,5,6 et 7)

3- Le système décimal (ou base 10)

La base décimale est la base que nous utilisons couramment. Elle est constituée des chiffres de 0 à 9
(0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9)

4- La base hexadécimale

Les informaticiens utilisent de moins en moins la base octale au profit de la base
hexadécimale. Le système hexadécimal utilise 10 chiffres et 6 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F) avec A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
 

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